تبلیغات
JM فقط ریاضی - دایره
 
درباره وبسایت


این سایت یک دانشنامۀ عمومی ریاضیات است و تلاش دارد تا مطالب مختلفی از ریاضیات برای شما بگذارد تا از آن استفاده کنید. از مطالب و کتب درسی مدارس تا مطالب خارج درسی. امید است تا بهترین استفاده و بهترین مطالب در اختیار شما قرار گیرد.

مدیر وبسایت : مهدی جیبا
آمار وبسایت
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :
JM فقط ریاضی
خداوند، جهان را به زبان ریاضی آفرید.
صفحه نخست             تماس با مدیر           پست الکترونیک               RSS                  ATOM
چهارشنبه 3 تیر 1394 :: نویسنده : مهدی جیبا

     دایره یک شکل هندسی و دو بعدی است که به مکان‌هندسی نقاطی که به یک فاصله از یک نقطۀ ثابت‌اند گفته می‌شود. در دنیا هیچ دایرۀ مطلقی وجود ندارد ولی این بدان معنا نیست که محاسبات ما را زیر سوال ببرد. یکی از مشخصات دایره، شعاع است که مهم‌ترین مشخصه و کافی است (البته با صرف نظر از مختصات در دستگاه). شعاع دایره پاره‌خطی است که از مرکز دایره تا محیط آن کشیده شده است و آن را با " r " نشان می‌دهند. دایره به پارسی "پرهون" خوانده می‌شود. محیط و مساحت دایره از مسائلی بود که بشر را سال ها به خود مشغول کرده بود و سبب شد تا عدد پی کشف شود.







دایره : "دایره، مکان‌هندسی نقاطی از یک صفحه است که فاصلۀ آن ها از نقطۀ ثابتی واقع در آن صفحه، مقدار ثابتی باشد."





     می‌خواهیم یک دایره رسم کنیم. معمولاً دایره را با دستگاهی به نام پرگار رسم می‌کنند. ولی ما می‌خواهیم با استفاده از " نخ، دو عدد خودکار یا مداد و یک کاغذ" این کار را انجام دهید تا مفهوم دایره را بهتر درک کنید. البته در دنیا هیچ گاه نمی‌توان دایرۀ مطلق رسم نمود چرا که دایره شامل نقاطی است که از یک نقطۀ ثابت (در سطح) به یک فاصلۀ ثابت باشند. اگر شما دایره‌ای بکشید، با فرض براین که با پرگار (و یا دستگاه‌‎های بسیار پیشرفته) و نهایت دقت کشیده‌اید، بازهم اگر تا اتم ریز شویم، فضاهای خالی آن و تکان خوردن‌های پروتون و یا الکترون را چگونه توجیه کنیم. البته این موضوع آن قدر جدّی نیست که محاسبات ما را زیر سوال ببرد.
     بگذریم؛ با ما در رسم دایره همراه باشید.
1. ابتدا سر دو خودکار را با یک نخ 10 سانتی‌متری می‌بندیم. نخ مورد استفاده بهتر است ضخامتی بیش از 2 میلی‌متر داشته باشد تا هنگام استفاده پاره نشود.
2. کنون یک خودکار را ثابت و خودکار دیگر را حول آن می چرخانیم. باید توجه داشته باشید که هر دو خودکار را هنگام رسم کردن، قائم بر صفحه ی کاغذ نگهداریم. هر چه قائم‌تر باشد، شکل به دایره نزدیک‌تر خواهد شد.

کنون ما یک دایره داریم.






 - مرکز دایره :

با توجه به تعریف دایره، به نقطۀ ثابت، (که تمام نقاط از آن به یک فاصله‌اند) مرکز دایره گفته می‌شود و معمولاً آن را با "O" نشان می‌دهند.

- شعاع دایره :

به پاره‌خطی که از مرکز تا یکی از نقاط واقع در محیط دایره کشیده شده است، شعاع دایره می‌گویند و معمولاً آن را با "r" نشان می‌دهند و در شکل بالا پاره خط OM شعاع دایره است.
با توجه به تعریف دایره، به مقدار ثابت، (که مقدار فاصلۀ نقاط از مرکز دایره است) اندازۀ شعاع دایره گفته می‌شود.

- دایره‌ای به مرکز O و شعاع r را به صورت " (C(O,r " نشان می‌دهند که نمایان‌گر دایرۀ C می‌باشد.

- وتر دایره :

پاره‌خطی است که دو نقطۀ متمایز از یک دایره را به هم وصل می‌کند؛ مانند پاره خط AB در دایره C.
یک دایره بی‌نهایت وتر دارد.

- قطر دایره :
وتری که از مرکز دایره می‌گذرد. قطر دایره نام دارد؛ مانند پاره خط CD در دایره C.
قطر یک دایره دو برابر شعاع آن است.
یک دایره بی‌نهایت قطر دارد.


- درون، روی و برون دایره :
هر نقطه‌ای منطبق بر یکی از نقاط یکی از شعاع‌های دایره که فاصله ی آن تا مرکز نابرابر با اندازۀ شعاع باشد، درون دایره خواهد بود؛ هر نقطه‌ای که بر شعاع منطبق و فاصلۀ آن تا مرکز به اندازۀ شعاع باشد، روی دایره و غیر از این خارج دایره است. اگر پاره خطی در درون دایره باشد، آن گاه تمام نقاط آن، با نقاط چند شعاع یا یک شعاع دایره مشترک هستند (نقاط غیر مشترک ندارند.).

- کمان دایره و قطاع دایره :
     کمان دایره: به بخشی از محیط یک دایره (که یک خم است) کمانی از آن دایره گفته می‌شود که توسط دو شعاع از دایره از محیط دایره جدا می‌شود. طول آن کمان، شعاع آن دایره و زاویۀ بین آن دو شعاع از ویژگی‌های کمان است که از این سه، دو ویژگی برای مشخص شدن آن کمان کافی است. بر این اساس کمان یک خم دو بعدی است. در شکل مقابل قسمت خم آبی‌رنگ یک کمان از دایره است که آن را به صورت "کمان AB" بیان می‌کنیم و یا به صورت نمایش می‌دهیم. بین O1> و L و r (به شرط آن که O1> بر حسب رادیان باشد) رابطۀ زیر برقرار است:
اگر زاویه مورد نظر بر حسب درجه باشد؛ با یک تناسب می‌توان رابطۀ زیر را بیان کرد:
البته اگر زاویه برحسب گراد بود، زاویه مورد نظر را مخرج 400 می دادیم و رابطۀ آن را به دست می‌آوردیم.
     قطاع دایره: به سطح بین دو شعاع در درون یک دایره قطاعی از آن دایره گفته می‌شود که با دو مشخصۀ 1- زاویۀ بین دو شعاع و 2- اندازۀ شعاع، مشخص می‌شود.  در شکل مقابل قسمت قرمز رنگ قطاعی از دایره است. قطاع یک دایره با کمان نظیر آن و زاویۀ بین دو شعاع، رابطه ی مستقیم دارد.



مساحت یک قطاع از دایره به صورت رابطۀ زیر خواهد بود. (به شرطی که زاویه برحسب رادیان باشد.)
اگر زاویه بر حسب درجه باشد؛ آن‌گاه مساحت قطاع به صورت زیر خواهد بود.
اگر زاویه برحسب گراد بود؛ در عبارت بالا در مخرج به جای 360 ، 400 را جایگزین می‌کردیم.





     معادلۀ کلی دایره در دستگاه مختصات دکارتی  به صورت زیر است:

     همان‌طور که در شکل مقابل می‌بینید نقطۀ C که مرکز دایره است مختصاتی با طول " h " و عرض " k " دارد که شعاع آن " r " است. بنابر این فرض‌ها معادلۀ این دایره، معادلۀ فوق خواهد بود. نکتۀ خاص دیگری در معادۀ دایره دیده نمی‌شود؛ فقط توجه داشته باشید که معادلۀ دایره‌ای که مرکز آن در مبدأ مختصات و با شعاع " r " است، به صورت زیر است:

     البته این، با توجه به معادلۀ اول، بدیهی است زیرا اگر دایره‌ای مرکزش در مبدأ مختصات باشد؛ آن‌گاه " h " و " k " صفر خواهد شد و معادلۀ بالا پدید می‌آید.






     محیط دایره از مسائلی بود که سال‌ها دانشمندان را به خود مشغول کرده بود و این، محیط دایره بود که سبب شد تا عدد پی کشف شود.
     از روش‌های زیادی برای به دست آوردن محیط یک دایره استفاده می‌شد. اما معمول‌ترین روش آن بود که قطر دایرۀ مورد نظر را در 3 ضرب می کردند. امروزه می‌دانیم که محیط دایره برابر است با قطر دایره ضرب در
عدد پی.
یعنی محیط دایره پی برابر قطر آن است:


     اگر شعاع دایره " r " باشد؛ محیط آن دایره به صورت زیر خواهد بود:



     مساحت یک دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین شده است. به مراحل زیر دقت کنید.
- مرحلۀ اول :
     ابتدا یک دایره را فرض می‌کنیم و آن را به چهار قطاع مساوی، تقسیم می‌کنیم و به صورت زیر آن را کنار هم می‌چینیم.

     همان‌طور که در بالا می‌بینید؛ شکل به دست آمده نامشخص است.
- مرحلۀ دوم :
     کنون دایرۀ مفروض را به هشت قطاع مساوی، تقسیم می‌کنیم و آن‌ها را مانند دفعۀ قبل کنار هم می‌چینیم.

     بازهم شکل به دست آمده نامتعارف است ولی خیلی به متوازی‌الاضلاع نزدیک است.
- مرحلۀ سوم :
     اگر دایرۀ مفروض را به قطاع‌های مساوی بسیار زیادی تقسیم کنیم؛ آنگاه شکل نیز تقریباً به متوازی‌الاضلاع می!رسد.

     آن‌گاه متوازی‌الاظلاع به دست آمده که به مستطیل خیلی نزدیک خواهد بود؛ ارتفاعی برابر با شعاع دایره خواهد داشت. شعاع دایره را " r " می‌گیریم. همین طور ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع برابر با نصف محیط دایره خواهد بود. پس مساحت دایره برابر با مساحت متوازی الاظلاع و برابر با "عدد پی در مربع شعاع" است.


- مساحت دایره بر حسب قطر:

     مساحت دایره را معمولاً بر حسب شعاع نمایش می‌دهند. اما اگر بخواهیم مساحت دایره را بر حسب قطر آن بیان کنیم با توجه به آن که داریم:
     آن را جایگذاری کرده و مساحت دایره بر حسب قطر چنین خواهد بود:



به     فارسی      : دایره (ی ـــِــ  ر ـــِــ )
به     پارسی       : پرهون ( پ ـــَــ  هـ  ـــُــ )
به     انگلیسی   :Circle (
sɜːkl)p

     دایره، لغتی است با ریشۀ عربی؛



1.دایرة المعارف هندسه 2
و منابع بسیار دیگر ..


جهت نشر این مطلب سیاست‌ها و حقوق تکثیر "JM فقط ریاضی" را مطالعه کنید.







نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


سه شنبه 30 آبان 1396 08:23 ب.ظ
درود بر شما جوانان و نوجوانان گرامی امیدوارم که به خواسته داشته تون توی آینده ای نه چندان دور برسید و پیشرفت شما در راه خوبی باشه و توصیه من اینه که همیشه در راه پیشرفت آبادانی کشورتون تلاش کنید


ممنونم که سخنان من را خواندید
شنبه 27 آبان 1396 12:24 ق.ظ
آیا میتونیم یک دایره واقعی نه چند ضلعی ، بکشیم ؟
پاسخ مهدی جیبا: در این مبحث نباید مناقشه کرد. مهم این است که محاسبات ما دچار مشکل نخواهد شد و اَشکال ما نمود درستی از محاسبات و اعمال ما خواهند بود. کما این که نتایج آن در صنعت و تکنولوژی سودمند است.
اما چرا نباید مناقشه کرد و مناقشه در آن چه نتیجه‌ای دارد جای بسیار بحث است که شاید از عهده بنده برنیاید.
اینکه شما مبحث کشیدن دایره واقعی را مطرح می‌کنید جای خود دارد، از طرفی نمی‌توان هیچ شکل مسطحی رسم نمود چراکه همیشه ضخامت دارند از این‌رو کشیدن مربع و مستطیل و نظیر این‌ها هم زیر همین سوال می‌روند.
پنجشنبه 12 اسفند 1395 02:51 ب.ظ
خیلی خیلی خیلی ممنونم مطلبتون .کارمو آسان کرد .خیلی چیز ها برام مجهول بود ولی با نوشته های مفیدتان جوابم را پیدا کردم.
پاسخ مهدی جیبا: خوشحالم تونست کمک کنه. هدف ما نشون دادن دید درستی از ریاضیاته
پنجشنبه 5 اسفند 1395 10:32 ب.ظ
باسلام میشه لطف کنید ؛اثبات کنید و بگویید که چرا مساحت دایره شعاع در شعاع در پی است ؟لطفا سوال بالا راهم واضح تر برایم پاسخ دهید ؟
باتشکر.
پاسخ مهدی جیبا: درود بر شما؛ در مقاله چرایی این موضوع توضیح داده شده است. اگر سوالتان را دقیق‌تر می‌پرسیدید می‌توانستم راهنماییتان کنم.
جمعه 29 بهمن 1395 11:22 ق.ظ
با سلام
رابطه بین قطر و محیط دایره چیست
پاسخ مهدی جیبا: در مقاله توضیح داده شده. محیط دایره برابر است با قطر ضرب در عدد پی
یکشنبه 24 بهمن 1395 06:58 ب.ظ
سلام اگه میشه " نصف محیط دایره " را بگید .
پاسخ مهدی جیبا: این از آن سوال‌هاست ها ، خوب یک عدد 2 در مخرج فرمول محیط دایره می‌گذاریم یا تقسیم بر 2 می‌کنیم (که در عمل فرقی نمی‌کند.)
یکشنبه 24 بهمن 1395 06:56 ب.ظ
پاسخ مهدی جیبا: ؟
جمعه 28 آبان 1395 09:58 ب.ظ
سلام ببخشید میشه بگید چرا تمامی مساحت همه شکل ها رو با s نشان میدهند ولی دایره رو نه
پاسخ مهدی جیبا: درود بر شما دوست عزیز، این صرفا یک نماد است.
پنجشنبه 20 خرداد 1395 02:47 ب.ظ
خداوند، جهان را به زبان محبت آفرید
پاسخ مهدی جیبا: درود بر شما دوست عزیز، جمله «خداوند، جهان را به زبان ریاضی آفرید» از یکی از بزرگان علم ریاضی است که اکنون دقیقاً خاطرم نیست فکر می‌کنم از ارشمیدس باشد.
سخن شما ادبی است و همیشه سخنان ادبی در نگاه سطحی مفهومی را نمی‌رسانند که می‌خواهند برسانند مانند ضرب‌المثل‌ها و آرایه‌ها و نظایر آن. گرچه ما علم ریاضی را از قواعد موجود در دنیا بنا کرده‌ایم، می‌توان چنین گفت که ریاضی همان قواعد این دنیا هستند، این است که می‌گویند «خداوند جهان را به زبان ریاضی آفرید». مثال سادۀ آن این است که همواره دو واحد از یک چیز با دو واحد دیگر از همان چیز کنار هم آید چهار واحد از آن چیز است این یک قاعده است. این است که در علم فیزیک (وخیلی علوم دیگر) همواره از علم ریاضی استفاده می‌شود چرا که قوانین این دنیا ریاضی است البته باید این موضوع را هم در نظر گرفت با این که علوم درحال پیشرفت‌اند اما ما علم ریاضی و هیچ علم دیگری را در حد کمال در دست نداریم.
دوشنبه 12 بهمن 1394 11:20 ب.ظ
خیلی ممنون از مطلبتون. برام مفید واقع شد.
پاسخ مهدی جیبا: خواهش می‌کنم؛ خوشحالم که بهتون کمک کرده.
سه شنبه 3 آذر 1394 01:22 ب.ظ
منم همین پرسش رو داشتم ک پاسخ داده شد
سپاسگزارم
پاسخ مهدی جیبا: خواهش می‌کنم. با سپاس از این که دیدگاهتون رو ارائه دادید مساحت دایره بر حسب قطر به مقاله اضافه شد.
چهارشنبه 27 آبان 1394 11:35 ق.ظ
سلام و ممنون اگه امکان داره فرمول مساحت دایره رو بر اساس قطر بذارین ممنون
پاسخ مهدی جیبا: درود بر شما دوست عزیز؛
مساحت دایره برحسب قطر برابر است با «ضرب عدد پی در مربع قطر، تقسیم بر چهار».
پاینده باشید و با سپاس از ارائه دیدگاهتون.
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نظرات پس از تایید نشان داده خواهند شد.